- Memorandum -
確か高校2年生くらいに微分積分を習って以来、大学3年生くらいまで悶々と考えてきたことのまとめ。
(数学者ではない私の経験的な持論なので、数学的に厳密でないのだろうな、とは思っています笑)
\(f( x ) = x ^ 2\)と設定してこの関数を\(x\)で微分しようとすると、
\[
\begin{alignat}{2}
\frac{ d f }{ d x }
& := \lim _ { \Delta x \to 0 } \frac{ f( x + \Delta x ) - f( x ) }{ \Delta x } \\
& = \lim _ { \Delta x \to 0 } \frac{ ( x + \Delta x ) ^ 2 - x ^ 2 }{ \Delta x } \\
& = \lim _ { \Delta x \to 0 } \frac{ 2 \ x \ \Delta x + \Delta x ^ 2 }{ \Delta x } \\
& = \lim _ { \Delta x \to 0 } \left [ 2 \ x + \Delta x \right ] \\
& = 2 x \\
\end{alignat}
\]
さらに\(f( x ) = x ^ 3\)と設定してこの関数を\(x\)で微分しようとすると、
\[
\begin{alignat}{2}
\frac{ d f }{ d x }
& := \lim _ { \Delta x \to 0 } \frac{ f( x + \Delta x ) - f( x ) }{ \Delta x } \\
& = \lim _ { \Delta x \to 0 } \frac{ ( x + \Delta x ) ^ 3 - x ^ 3 }{ \Delta x } \\
& = \lim _ { \Delta x \to 0 } \frac{ 3 \ x ^ 2 \ \Delta x + 3 \ x \ \Delta x ^ 2 + \Delta x ^ 3 }{ \Delta x } \\
& = \lim _ { \Delta x \to 0 } \left [ 3 \ x ^ 2 + 3 \ x \ \Delta x + \Delta x ^ 2 \right ] \\
& = 3 x ^ 2 \\
\end{alignat}
\]
\(\cdots\cdots\cdots\)のような写経を延々やらされた記憶があるのですが、
こんな面倒な書き方をしなくても、次のような書き方で十分な理解度に達すると思っています。
\(f( x ) = x ^ 2\)のとき、
\[
\begin{alignat}{2}
df( x ) & = f( x + dx ) - f( x ) \\
& = ( x + dx ) ^ 2 - x ^ 2 \\
& = 2 \ x \ dx + dx ^ 2 \\
& = 2 \ x \ dx + 0 \ \ ( \because dx >> dx ^ 2 ) \\
& \therefore \frac{ df }{ dx } = 2 \ x
\end{alignat}
\]
\(f( x ) = x ^ 3\)のとき、
\[
\begin{alignat}{2}
df( x ) & = f( x + dx ) - f( x ) \\
& = ( x + dx ) ^ 3 - x ^ 3 \\
& = 3 \ x ^ 2 \ dx + 3 \ x \ dx ^ 2 + dx ^ 3 \\
& = 3 \ x ^ 2 \ dx + 0 + 0 \ \ ( \because dx >> dx ^ 2 , dx ^ 3 ) \\
& \therefore \frac{ df }{ dx } = 3 \ x ^ 2
\end{alignat}
\]
この記法のメリットは、\(\lim\)を使うよりもノートのスペースと労力を使わないことです。
「分子が~だった」「分母が~~だった」と煩わされることなく、式変形全体を視界に入れやすくなるので、理解が深まりやすくなると勝手に思っています。
以下、\( f'( x ) = \frac{ df( x ) }{ dx } \ \) のような書き方も用います。
\[ \begin{alignat}{2} df( x ) & = f( x + dx ) - f( x ) \\ & = a \ ( x + dx ) - a \ x \\ & = a \ dx \\ & \therefore \frac{ df }{ dx } = a \end{alignat} \]
\[ \begin{alignat}{2} df( x ) & = f( x + dx ) - f( x ) \\ & = ( x + dx ) ^ n - x ^ n \\ & = \sum \limits _ { k = 0 } ^ { n } \left [ _ n C _ { n - k } \ x ^ { n - k } \ dx ^ { k } \right ] - x ^ n \\ & = { } _ n C _ n \ x ^ n + \sum \limits _ { k = 1 } ^ { n } \left [ _ n C _ { n - k } \ x ^ { n - k } \ dx ^ { k } \right ] - x ^ n \\ & = { } _ n C _ { n - 1 } \ x ^ { n - 1 } \ dx ^ 1 + \sum \limits _ { k = 2 } ^ { n } \left [ _ n C _ { n - k } \ x ^ { n - k } \ dx ^ { k } \right ] \\ & = n \ x ^ { n - 1 } \ dx + 0 \ \ ( \because dx >> dx ^ 2 , dx ^ 3 , \cdots , dx ^ { n - 1 } , dx ^ n ) \\ & \therefore \frac{ df }{ dx } = n \ x ^ { n - 1 } \end{alignat} \]
導出する前に、次の定義を使います。
\[
e := \left ( 1 + 0 \right ) ^ \infty , \left ( 1 + dx \right ) ^ { \frac{ 1 }{ dx } } \ , \ \left ( 1 + C \ dx \right ) ^ { \frac{ 1 }{ C \ dx } } \ (C:\text{実数}) \ , \ \left ( 1 + \frac{ dx }{ x } \right ) ^ { \frac{ x }{ dx } } \ , \ \cdots
\]
\(e \ \)は、自然対数の底です。右辺に何種類かの項を示していますが、扱いは一緒です。好きなように書き換え可能です。
高校数学では、以下のような定義で教えられます。
\[
e := \lim _ { h \to \pm 0 } ( 1 + h ) ^ { \frac{ 1 }{ h } } \ , \ \lim _ { h \to \pm \infty } \left ( 1 + \frac{ 1 }{ h } \right ) ^ { h } \ , \ \cdots
\]
上記の\(\ e = ( 1 + dx ) ^ { \frac{ 1 }{ dx } } \ \)を用いると、
\[ e = ( 1 + dx ) ^ { \frac{ 1 }{ dx } } \Leftrightarrow e ^ { dx } = 1 + dx \Leftrightarrow e ^ { dx } - 1 = dx \]
のように変形できるので、\(f( x ) = e ^ x \ \)の微分を下記のように導出できます。
\[
\begin{alignat}{2}
df( x ) & = f( x + dx ) - f( x ) \\
& = e ^ { x + dx } - e ^ x \\
& = e ^ x \ ( e ^ { dx } - 1 ) \\
& = e ^ x \ dx \ \ ( \because e ^ { dx } - 1 = dx ) \\
& \therefore \frac{ df }{ dx } = e ^ x
\end{alignat}
\]
導出する前に、次の定義を使います。
\[
e := \left ( 1 + C \ dx \right ) ^ { \frac{ 1 }{ C \ dx } } \ (C:\text{実数})
\]
また、次の定理も使います。
\[
a = e ^ { \ln ( a ) } \ \ \left ( \text{ ただし、} \ln( a ) := \log _ { \ e \ } ( \ a \ ) \right )
\]
両辺に\(\ \ln( ) \ \)を作用させると確認できます。
また、合成関数の微分もちょっと使います。
\[
\begin{alignat}{2}
df( x ) & = f( x + dx ) - f( x ) \\
& = a ^ { x + dx } - a ^ x \\
& = a ^ x \ ( a ^ { dx } - 1 ) \\
& = a ^ x \ ( e ^ { dx \ \ln ( a ) } - 1 ) \\
& = a ^ x \ dx \ \ln ( a ) \ \ ( \because e ^ { C \ dx } - 1 = C \ dx \ (C:\text{実数})) \\
& \therefore \frac{ df }{ dx } = a ^ x \ \ln ( a )
\end{alignat}
\]
ここで、
\[ e = ( 1 + C \ dx ) ^ { \frac{ 1 }{ C \ dx } } \Leftrightarrow e ^ { C \ dx } = 1 + C \ dx \Leftrightarrow e ^ { C \ dx } - 1 = C \ dx \]
が成り立つことを利用しましたが、下記の等号は成立しません。
\[
\left \{
\begin{array}{l}
e = ( 1 + C \ dx ) ^ { \frac{ 1 }{ dx } } \\
e = ( 1 + dx ) ^ { \frac{ 1 }{ C \ dx } } \\
\end{array}
\right .
\]
たとえば、
\[ e = ( 1 + C_1 \ dx ) ^ { \frac{ 1 }{ C_2 \ dx } } \]
という変形の等号を成立させるためには、\(C_1 = C_2\ \)、つまり、\(C_1 \ dx \ \)と\( \ C_2 \ dx \ \)が、同じスケールの微小量である必要があります。
高校数学の「ことば」で表すなら、「同じ速度で収束させる」必要があります。
\( \ln( x ) := \log _ e ( x ) \ \)です。
導出する前に、次の定義を使います。
\[
e := \left ( 1 + \frac{ dx }{ x } \right ) ^ { \frac{ x }{ dx } }
\]
括弧の内外で分子と分母が入れ替わっています。
変形すると、
\[
e = \left ( 1 + \frac{ dx }{ x } \right ) ^ { \frac{ x }{ dx } }
\Leftrightarrow
\ln \left( e \right ) = \ln \left ( 1 + \frac{ dx }{ x } \right ) ^ \frac{ x }{ dx } \\
\therefore
1 = \frac{ x }{ dx } \ \ln \left ( 1 + \frac{ dx }{ x } \right ) \Leftrightarrow \frac{ dx }{ x } = \ln \left ( 1 + \frac{ dx }{ x } \right )
\]
が成り立つので、\(f( x ) = \ln( x ) \ \)の微分は、
\[
\begin{alignat}{2}
df( x ) & = f( x + dx ) - f( x ) \\
& = \ln ( x + dx ) - \ln ( x ) \\
& = \ln \left ( \frac{ x + dx }{ x } \right ) \\
& = \ln \left ( 1 + \frac{ dx }{ x } \right ) \\
& = \frac{ 1 }{ x } \ dx \\
& \therefore \frac{ df }{ dx } = \frac{ 1 }{ x }
\end{alignat}
\]
ここで、
\[ e = \left ( 1 + \frac{ dx }{ x } \right ) ^ { \frac{ x }{ dx } } \]
が成り立つことを利用しましたが、下記の等号は成立しません。
\[
\left \{
\begin{array}{l}
e = \left ( 1 + \frac{ dx }{ x } \right ) ^ { \frac{ 1 }{ dx } } \\
e = ( 1 + dx ) ^ { \frac{ x }{ dx } } \\
\end{array}
\right .
\]
たとえば、
\[ e = ( 1 + C_1 \ dx ) ^ { \frac{ 1 }{ C_2 \ dx } } \]
という変形の等号を成立させるためには、\(C_1 = C_2\ \)、つまり、\(C_1 \ dx \ \)と\( \ C_2 \ dx \ \)が、同じスケールの微小量である必要があります。
ここでは、\( \frac{ dx }{ x } \to 0 \ \) という収束と、\( \frac{ x }{ dx } \to \infty \ \)という収束が、同じ速度スケールである必要があります。
\[ \begin{alignat}{2} df( x ) & = f( x + dx ) - f( x ) \\ & = \sin ( x + dx ) - \sin ( x ) \\ & = 2 \ \cos \left ( \frac{ ( x + dx ) + x }{ 2 } \right ) \ \sin \left ( \frac{ ( x + dx ) - x }{ 2 } \right ) \\ & = 2 \ \cos \left ( x + \frac{ dx }{ 2 } \right ) \ \sin \left ( \frac{ dx }{ 2 } \right ) \\ & = \cos \left ( x + \frac{ dx }{ 2 } \right ) \ \frac{ \sin \left ( \frac{ dx }{ 2 } \right ) }{ \frac{ dx }{ 2 } } \ dx \\ & = \cos \left ( x + \frac{ dx }{ 2 } \right ) \ \frac{ \sin \left ( 0 \right ) }{ 0 } \ dx \\ & = \cos \left ( x + \frac{ dx }{ 2 } \right ) \ \cdot 1 \cdot \ dx \\ & = \cos \left ( x + \frac{ dx }{ 2 } \right ) \ dx \\ & = \cos \left ( x + 0 \right ) \ dx \ \ ( \because x >> dx ) \\ & = \cos \left ( x \right ) \ dx \\ & \therefore \frac{ df }{ dx } = \cos ( x ) \end{alignat} \]
上記の「微分の導入」の積分編です。微分編をいくつか読んでからの方が、スムーズに読めると思います。
(数学者ではない私の経験的な持論なので、数学的に厳密でないのだろうな、とは思っています笑)
\(f'( x ) = 2 x \ \)と設定して、\(\ x := x_0 \sim x \ \)の区間で積分すると、
\[
\begin{alignat}{2}
\int _ { x _ 0 } ^ { x } f'( x ) \ dx
& = \int _ { x _ 0 } ^ { x } 2 x \ dx \\
& = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ 2 x \ dx + 0 \right ] \\
& = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ 2 x \ dx + dx ^ 2 \right ] \ \ ( \because dx >> dx ^ 2 ) \\
& = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ ( x + dx ) ^ 2 - x ^ 2 \right ] \\
& = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ f( x + dx ) - f( x ) \right ] \\
& = \int _ { f( x _ 0 ) } ^ { f( x ) } df \\
& = f( x ) - f( x _ 0 ) \\
& = x ^ 2 - x _ 0 ^ 2 \\
\end{alignat}
\]
\(f'( x ) = 3 x ^ 2 \ \)と設定して、\(\ x := x_0 \sim x \ \)の区間で積分すると、
\[
\begin{alignat}{2}
\int _ { x _ 0 } ^ { x } f'( x ) \ dx
& = \int _ { x _ 0 } ^ { x } 3 x ^ 2 \ dx \\
& = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ 3 x ^ 2 \ dx + 0 + 0 \right ] \\
& = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ 3 x ^ 2 \ dx + 3 x \ dx ^ 2 + dx ^ 3 \right ] \ \ ( \because dx >> dx ^ 2 , dx ^ 3 ) \\
& = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ ( x + dx ) ^ 3 - x ^ 3 \right ] \\
& = \int _ { x _ 0 ^ 3 } ^ { x ^ 3 } d \left [ x ^ 3 \right ] \\
& = x ^ 3 - x _ 0 ^ 3 \\
\end{alignat}
\]
\(f'( x ) = 2 x \ \)の場合と違う書き方ですが、考え方は一緒です。
以下、後者の書き方を用います。手順は微分編のほぼ逆向きです。
\[ \begin{alignat}{2} \int _ { x _ 0 } ^ { x } f'( x ) \ dx & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } a \ dx \\ & = a \ \int _ { x _ 0 } ^ { x } dx \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ 3 x ^ 2 \ dx + 3 x \ dx ^ 2 + dx ^ 3 \right ] \ \ ( \because dx >> dx ^ 2 , dx ^ 3 ) \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ ( x + dx ) ^ 3 - x ^ 3 \right ] \\ & = \int _ { x _ 0 ^ 3 } ^ { x ^ 3 } d \left [ x ^ 3 \right ] \\ & = x ^ 3 - x _ 0 ^ 3 \\ \end{alignat} \]
\[ \begin{alignat}{2} \int _ { x _ 0 } ^ { x } f'( x ) \ dx & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } n \ x ^ { n - 1 } \ dx \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ n \ x ^ { n - 1 } \ dx + 0 + \cdots \ + 0 \right ] \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ \begin{array}{c} { } _ n C _ { n - 1 } \ x ^ { n - 1 } \ dx + { } _ n C _ { n - 2 } \ x ^ { n - 2 } \ dx ^ 2 \\ + { } _ n C _ { n - 3 } \ x ^ { n - 3 } \ dx ^ 3 + { } _ n C _ { n - 4 } \ x ^ { n - 4 } \ dx ^ 4 \\ + \cdots \\ + { } _ n C _ { 3 } \ x ^ { 3 } \ dx ^ { n - 3 } + { } _ n C _ { 2 } \ x ^ { 2 } \ dx ^ { n - 2 } \\ + { } _ n C _ { 1 } \ x ^ { 1 } \ dx ^ { n - 1 } + { } _ n C _ { 0 } \ x ^ { 0 } \ dx ^ { n - 0 } \\ \end{array} \right ] \\ & \ \ \ \ \ ( \because dx >> dx ^ 2 , dx ^ 3 , \cdots , dx ^ { n - 1 } , dx ^ n ) \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ ( x + dx ) ^ n - x ^ n \right ] \\ & = \int _ { x _ 0 ^ n } ^ { x ^ n } d \left [ x ^ n \right ] \\ & = x ^ n - x _ 0 ^ n \end{alignat} \]
\[ \begin{alignat}{2} \int _ { x _ 0 } ^ { x } f'( x ) \ dx & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } e ^ x \ dx \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ e ^ x \left ( e ^ { dx } - 1 \right ) \right ] \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ e ^ { x + dx } - e ^ x \right ] \\ & = \int _ { e ^ { x _ 0 } } ^ { e ^ x } d \left [ e ^ x \right ] \\ & = e ^ x - e ^ { x _ 0 } \end{alignat} \]
\[ \begin{alignat}{2} \int _ { x _ 0 } ^ { x } f'( x ) \ dx & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } a ^ x \ln ( a ) \ dx \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } e ^ { x \ln ( a ) } \ln ( a ) \ dx \\ & = \frac{ 1 }{ \ln ( a ) } \int _ { x _ 0 \ln ( a ) } ^ { x \ln ( a ) } e ^ { x \ln ( a ) } \ d \left [ x \ln ( a ) \right ] \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ e ^ { x \ln ( a ) } \left ( e ^ { dx \ln ( a ) } - 1 \right ) \right ] \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ e ^ { ( x + dx ) \ln ( a ) } - e ^ { x \ln ( a ) } \right ] \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ a ^ { ( x + dx ) } - a ^ { x } \right ] \\ & = \int _ { a ^ { x _ 0 } } ^ { a ^ x } d \left [ a ^ { x } \right ] \\ & = a ^ x - a ^ { x _ 0 } \end{alignat} \]
\[ \begin{alignat}{2} \int _ { x _ 0 } ^ { x } f'( x ) \ dx & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \frac{ 1 }{ x } \ dx \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \frac{ dx }{ x } \cdot 1 \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \frac{ dx }{ x } \ \ln ( e ) \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \frac{ dx }{ x } \ln \left ( 1 + 0 \right ) ^ \infty \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \frac{ dx }{ x } \ln \left ( 1 + \frac{ dx }{ x } \right ) ^ \frac{ x }{ dx } \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \ln \left ( 1 + \frac{ dx }{ x } \right ) \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \ln \left ( \frac{ x + dx }{ x } \right ) \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ \ln ( x + dx ) - \ln ( x ) \right ] \\ & = \int _ { \ln ( x _ 0 ) } ^ { \ln ( x ) } d \left [ \ln ( x ) \right ] \\ & = \ln ( x ) - \ln ( x _ 0 ) \\ \end{alignat} \]
\[ \begin{alignat}{2} \int _ { x _ 0 } ^ { x } f'( x ) \ dx & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \cos \left ( x \right ) \ dx \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \cos \left ( x + 0 \right ) \cdot 1 \ dx \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \cos \left ( x + \frac{ dx }{ 2 } \right ) \ \frac{ \sin \left ( \frac{ dx }{ 2 } \right ) }{ \frac{ dx }{ 2 } } \ dx \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } 2 \ \cos \left ( x + \frac{ dx }{ 2 } \right ) \ \sin \left ( \frac{ dx }{ 2 } \right ) \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } 2 \ \cos \left ( \frac{ ( x + dx ) + x }{ 2 } \right ) \ \sin \left ( \frac{ ( x + dx ) - x }{ 2 } \right ) \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ \sin \left ( x + dx \right ) - \sin \left ( x \right ) \right ] \\ & = \int _ { \sin ( x _ 0 ) } ^ { \sin ( x ) } d \left [ \sin ( x ) \right ] \\ & = \sin ( x ) - \sin ( x _ 0 ) \\ \end{alignat} \]
「\(\infty\)」をあたかも普通の代数計算と同じように使って計算できることに気付いた時は、ちょっと感動しました。笑
工事中。。。
1次元の関数\( \ u( x ) \ \)についてのラプラス方程式は、 \[ \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial x ^ 2 } = 0 \] なので、重み関数\( \ u ^ * ( x ) \ \)を乗じて区間\( \ \Omega \ \)で積分すると、 \[ \int _ \Omega \left [ \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial x ^ 2 } \ u ^ * \right ] \ dx = 0 \\ \int _ \Omega \left [ \frac{ \partial }{ \partial x } \left ( \frac{ \partial u }{ \partial x } \ u ^ * \right ) \right ] \ dx - \int _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } \right ] \ dx = 0 \\ \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ u ^ * \right ] _ \Omega - \int _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } \right ] \ dx = 0 \\ \]
2次元の関数\( \ u( x , y ) \ \)についてのラプラス方程式は、 \[ \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial x ^ 2 } + \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial y ^ 2 } = 0 \] なので、重み関数\( \ u ^ * ( x , y ) \ \)を乗じて区間\( \ \Omega \ \)で積分すると、 \[ \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial x ^ 2 } + \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial y ^ 2 } \right ] \ u ^ * \ dx \ dy = 0 \\ \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial x ^ 2 } \ u ^ * + \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial y ^ 2 } \ u ^ * \right ] \ dx \ dy = 0 \\ \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial }{ \partial x } \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \right ] \ u ^ * + \frac{ \partial }{ \partial y } \left [ \frac{ \partial u }{ \partial y } \right ] \ u ^ * \right ] \ dx \ dy = 0 \\ \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial }{ \partial x } \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ u ^ * \right ] + \frac{ \partial }{ \partial y } \left [ \frac{ \partial u }{ \partial y } \ u ^ * \right ] \right ] \ dx \ dy - \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } + \frac{ \partial u }{ \partial y } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial y } \right ] \ dx \ dy = 0 \\ \iint _ \Omega \nabla \cdot \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ u ^ * + \frac{ \partial u }{ \partial y } \ u ^ * \right ] \ dx \ dy - \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } + \frac{ \partial u }{ \partial y } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial y } \right ] \ dx \ dy = 0 \\ \int _ \Gamma \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ u ^ * + \frac{ \partial u }{ \partial y } \ u ^ * \right ] \cdot \boldsymbol{ n } \ d \Gamma - \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } + \frac{ \partial u }{ \partial y } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial y } \right ] \ dx \ dy = 0 \\ \int _ \Gamma \ \frac{ \partial u }{ \partial n } \ u ^ * \ d \Gamma - \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } + \frac{ \partial u }{ \partial y } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial y } \right ] \ dx \ dy = 0 \\ \]
1次元の関数\( \ u( x ) \ \)についてのポアソン方程式は、 \[ \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial x ^ 2 } = f( x ) \] なので、重み関数\( \ u ^ * ( x ) \ \)を乗じて区間\( \ \Omega \ \)で積分すると、 \[ \int _ \Omega \left [ \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial x ^ 2 } - f \right ] \ u ^ * \ dx = 0 \\ \int _ \Omega \left [ \frac{ \partial }{ \partial x } \left ( \frac{ \partial u }{ \partial x } \ u ^ * \right ) \right ] \ dx - \int _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } \right ] \ dx - \int _ \Omega f \ u ^ * \ dx = 0 \\ \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ u ^ * \right ] _ \Omega - \int _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } \right ] \ dx - \int _ \Omega f \ u ^ * \ dx = 0 \\ \]
2次元の関数\( \ u( x , y ) \ \)についてのポアソン方程式は、 \[ \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial x ^ 2 } + \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial y ^ 2 } = f( x , y ) \] なので、重み関数\( \ u ^ * ( x , y ) \ \)を乗じて区間\( \ \Omega \ \)で積分すると、 \[ \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial x ^ 2 } + \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial y ^ 2 } - f \right ] \ u ^ * \ dx \ dy = 0 \\ \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial x ^ 2 } \ u ^ * + \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial y ^ 2 } \ u ^ * \right ] \ dx \ dy - \int _ \Omega f \ u ^ * \ dx = 0 \\ \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial }{ \partial x } \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \right ] \ u ^ * + \frac{ \partial }{ \partial y } \left [ \frac{ \partial u }{ \partial y } \right ] \ u ^ * \right ] \ dx \ dy - \int _ \Omega f \ u ^ * \ dx = 0 \\ \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial }{ \partial x } \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ u ^ * \right ] + \frac{ \partial }{ \partial y } \left [ \frac{ \partial u }{ \partial y } \ u ^ * \right ] \right ] \ dx \ dy - \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } + \frac{ \partial u }{ \partial y } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial y } \right ] \ dx \ dy - \int _ \Omega f \ u ^ * \ dx = 0 \\ \iint _ \Omega \nabla \cdot \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ u ^ * + \frac{ \partial u }{ \partial y } \ u ^ * \right ] \ dx \ dy - \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } + \frac{ \partial u }{ \partial y } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial y } \right ] \ dx \ dy - \int _ \Omega f \ u ^ * \ dx = 0 \\ \int _ \Gamma \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ u ^ * + \frac{ \partial u }{ \partial y } \ u ^ * \right ] \cdot \boldsymbol{ n } \ d \Gamma - \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } + \frac{ \partial u }{ \partial y } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial y } \right ] \ dx \ dy - \int _ \Omega f \ u ^ * \ dx = 0 \\ \int _ \Gamma \ \frac{ \partial u }{ \partial n } \ u ^ * \ d \Gamma - \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } + \frac{ \partial u }{ \partial y } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial y } \right ] \ dx \ dy - \int _ \Omega f \ u ^ * \ dx = 0 \\ \]
数学者ではないのをいいことに、好き勝手な解釈を徒然に書いています。
今のところ、自分が分かればいい書き方でまとめているので、
そのうち読み物形式にできたらなぁ、と思っています。笑
管理人の不勉強で正確性に欠ける内容を
含むかも知れませんので、ご注意ください。。。
計算ミスがあったらごめんなさい。。。
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