- Memorandum -


数学関連
  • 目的:自習内容と気付いたことなどの備忘
  • 微分積分観
    • 微分の導入

        確か高校2年生くらいに微分積分を習って以来、大学3年生くらいまで悶々と考えてきたことのまとめ。
        (数学者ではない私の経験的な持論なので、数学的に厳密でないのだろうな、とは思っています笑)

        \(f( x ) = x ^ 2\)と設定してこの関数を\(x\)で微分しようとすると、 \[ \begin{alignat}{2} \frac{ d f }{ d x } & := \lim _ { \Delta x \to 0 } \frac{ f( x + \Delta x ) - f( x ) }{ \Delta x } \\ & = \lim _ { \Delta x \to 0 } \frac{ ( x + \Delta x ) ^ 2 - x ^ 2 }{ \Delta x } \\ & = \lim _ { \Delta x \to 0 } \frac{ 2 \ x \ \Delta x + \Delta x ^ 2 }{ \Delta x } \\ & = \lim _ { \Delta x \to 0 } \left [ 2 \ x + \Delta x \right ] \\ & = 2 x \\ \end{alignat} \] さらに\(f( x ) = x ^ 3\)と設定してこの関数を\(x\)で微分しようとすると、 \[ \begin{alignat}{2} \frac{ d f }{ d x } & := \lim _ { \Delta x \to 0 } \frac{ f( x + \Delta x ) - f( x ) }{ \Delta x } \\ & = \lim _ { \Delta x \to 0 } \frac{ ( x + \Delta x ) ^ 3 - x ^ 3 }{ \Delta x } \\ & = \lim _ { \Delta x \to 0 } \frac{ 3 \ x ^ 2 \ \Delta x + 3 \ x \ \Delta x ^ 2 + \Delta x ^ 3 }{ \Delta x } \\ & = \lim _ { \Delta x \to 0 } \left [ 3 \ x ^ 2 + 3 \ x \ \Delta x + \Delta x ^ 2 \right ] \\ & = 3 x ^ 2 \\ \end{alignat} \] \(\cdots\cdots\cdots\)のような写経を延々やらされた記憶があるのですが、 こんな面倒な書き方をしなくても、次のような書き方で十分な理解度に達すると思っています。

        \(f( x ) = x ^ 2\)のとき、 \[ \begin{alignat}{2} df( x ) & = f( x + dx ) - f( x ) \\ & = ( x + dx ) ^ 2 - x ^ 2 \\ & = 2 \ x \ dx + dx ^ 2 \\ & = 2 \ x \ dx + 0 \ \ ( \because dx >> dx ^ 2 ) \\ & \therefore \frac{ df }{ dx } = 2 \ x \end{alignat} \] \(f( x ) = x ^ 3\)のとき、 \[ \begin{alignat}{2} df( x ) & = f( x + dx ) - f( x ) \\ & = ( x + dx ) ^ 3 - x ^ 3 \\ & = 3 \ x ^ 2 \ dx + 3 \ x \ dx ^ 2 + dx ^ 3 \\ & = 3 \ x ^ 2 \ dx + 0 + 0 \ \ ( \because dx >> dx ^ 2 , dx ^ 3 ) \\ & \therefore \frac{ df }{ dx } = 3 \ x ^ 2 \end{alignat} \] この記法のメリットは、\(\lim\)を使うよりもノートのスペースと労力を使わないことです。 「分子が~だった」「分母が~~だった」と煩わされることなく、式変形全体を視界に入れやすくなるので、理解が深まりやすくなると勝手に思っています。

        以下、\( f'( x ) = \frac{ df( x ) }{ dx } \ \) のような書き方も用います。

    • \(f( x ) = a \ x \ (a:\)実数\() \ \)の微分

        \[ \begin{alignat}{2} df( x ) & = f( x + dx ) - f( x ) \\ & = a \ ( x + dx ) - a \ x \\ & = a \ dx \\ & \therefore \frac{ df }{ dx } = a \end{alignat} \]

    • \(f( x ) = x ^ n \ (n:\)整数\() \ \)の微分

        \[ \begin{alignat}{2} df( x ) & = f( x + dx ) - f( x ) \\ & = ( x + dx ) ^ n - x ^ n \\ & = \sum \limits _ { k = 0 } ^ { n } \left [ _ n C _ { n - k } \ x ^ { n - k } \ dx ^ { k } \right ] - x ^ n \\ & = { } _ n C _ n \ x ^ n + \sum \limits _ { k = 1 } ^ { n } \left [ _ n C _ { n - k } \ x ^ { n - k } \ dx ^ { k } \right ] - x ^ n \\ & = { } _ n C _ { n - 1 } \ x ^ { n - 1 } \ dx ^ 1 + \sum \limits _ { k = 2 } ^ { n } \left [ _ n C _ { n - k } \ x ^ { n - k } \ dx ^ { k } \right ] \\ & = n \ x ^ { n - 1 } \ dx + 0 \ \ ( \because dx >> dx ^ 2 , dx ^ 3 , \cdots , dx ^ { n - 1 } , dx ^ n ) \\ & \therefore \frac{ df }{ dx } = n \ x ^ { n - 1 } \end{alignat} \]

    • \(f( x ) = e ^ x \ (e:\)自然対数の底\() \ \)の微分

        導出する前に、次の定義を使います。 \[ e := \left ( 1 + 0 \right ) ^ \infty , \left ( 1 + dx \right ) ^ { \frac{ 1 }{ dx } } \ , \ \left ( 1 + C \ dx \right ) ^ { \frac{ 1 }{ C \ dx } } \ (C:\text{実数}) \ , \ \left ( 1 + \frac{ dx }{ x } \right ) ^ { \frac{ x }{ dx } } \ , \ \cdots \] \(e \ \)は、自然対数の底です。右辺に何種類かの項を示していますが、扱いは一緒です。好きなように書き換え可能です。
        高校数学では、以下のような定義で教えられます。 \[ e := \lim _ { h \to \pm 0 } ( 1 + h ) ^ { \frac{ 1 }{ h } } \ , \ \lim _ { h \to \pm \infty } \left ( 1 + \frac{ 1 }{ h } \right ) ^ { h } \ , \ \cdots \] 上記の\(\ e = ( 1 + dx ) ^ { \frac{ 1 }{ dx } } \ \)を用いると、 \[ e = ( 1 + dx ) ^ { \frac{ 1 }{ dx } } \Leftrightarrow e ^ { dx } = 1 + dx \Leftrightarrow e ^ { dx } - 1 = dx \] のように変形できるので、\(f( x ) = e ^ x \ \)の微分を下記のように導出できます。 \[ \begin{alignat}{2} df( x ) & = f( x + dx ) - f( x ) \\ & = e ^ { x + dx } - e ^ x \\ & = e ^ x \ ( e ^ { dx } - 1 ) \\ & = e ^ x \ dx \ \ ( \because e ^ { dx } - 1 = dx ) \\ & \therefore \frac{ df }{ dx } = e ^ x \end{alignat} \]

    • \(f( x ) = a ^ x \ (a:\)実数\() \ \)の微分

        導出する前に、次の定義を使います。 \[ e := \left ( 1 + C \ dx \right ) ^ { \frac{ 1 }{ C \ dx } } \ (C:\text{実数}) \] また、次の定理も使います。 \[ a = e ^ { \ln ( a ) } \ \ \left ( \text{ ただし、} \ln( a ) := \log _ { \ e \ } ( \ a \ ) \right ) \] 両辺に\(\ \ln( ) \ \)を作用させると確認できます。
        また、合成関数の微分もちょっと使います。 \[ \begin{alignat}{2} df( x ) & = f( x + dx ) - f( x ) \\ & = a ^ { x + dx } - a ^ x \\ & = a ^ x \ ( a ^ { dx } - 1 ) \\ & = a ^ x \ ( e ^ { dx \ \ln ( a ) } - 1 ) \\ & = a ^ x \ dx \ \ln ( a ) \ \ ( \because e ^ { C \ dx } - 1 = C \ dx \ (C:\text{実数})) \\ & \therefore \frac{ df }{ dx } = a ^ x \ \ln ( a ) \end{alignat} \] ここで、 \[ e = ( 1 + C \ dx ) ^ { \frac{ 1 }{ C \ dx } } \Leftrightarrow e ^ { C \ dx } = 1 + C \ dx \Leftrightarrow e ^ { C \ dx } - 1 = C \ dx \] が成り立つことを利用しましたが、下記の等号は成立しません。 \[ \left \{ \begin{array}{l} e = ( 1 + C \ dx ) ^ { \frac{ 1 }{ dx } } \\ e = ( 1 + dx ) ^ { \frac{ 1 }{ C \ dx } } \\ \end{array} \right . \] たとえば、 \[ e = ( 1 + C_1 \ dx ) ^ { \frac{ 1 }{ C_2 \ dx } } \] という変形の等号を成立させるためには、\(C_1 = C_2\ \)、つまり、\(C_1 \ dx \ \)と\( \ C_2 \ dx \ \)が、同じスケールの微小量である必要があります。
        高校数学の「ことば」で表すなら、「同じ速度で収束させる」必要があります。

    • \(f( x ) = \ln ( x ) \ \)の微分

        \( \ln( x ) := \log _ e ( x ) \ \)です。 導出する前に、次の定義を使います。 \[ e := \left ( 1 + \frac{ dx }{ x } \right ) ^ { \frac{ x }{ dx } } \] 括弧の内外で分子と分母が入れ替わっています。 変形すると、 \[ e = \left ( 1 + \frac{ dx }{ x } \right ) ^ { \frac{ x }{ dx } } \Leftrightarrow \ln \left( e \right ) = \ln \left ( 1 + \frac{ dx }{ x } \right ) ^ \frac{ x }{ dx } \\ \therefore 1 = \frac{ x }{ dx } \ \ln \left ( 1 + \frac{ dx }{ x } \right ) \Leftrightarrow \frac{ dx }{ x } = \ln \left ( 1 + \frac{ dx }{ x } \right ) \] が成り立つので、\(f( x ) = \ln( x ) \ \)の微分は、 \[ \begin{alignat}{2} df( x ) & = f( x + dx ) - f( x ) \\ & = \ln ( x + dx ) - \ln ( x ) \\ & = \ln \left ( \frac{ x + dx }{ x } \right ) \\ & = \ln \left ( 1 + \frac{ dx }{ x } \right ) \\ & = \frac{ 1 }{ x } \ dx \\ & \therefore \frac{ df }{ dx } = \frac{ 1 }{ x } \end{alignat} \] ここで、 \[ e = \left ( 1 + \frac{ dx }{ x } \right ) ^ { \frac{ x }{ dx } } \] が成り立つことを利用しましたが、下記の等号は成立しません。 \[ \left \{ \begin{array}{l} e = \left ( 1 + \frac{ dx }{ x } \right ) ^ { \frac{ 1 }{ dx } } \\ e = ( 1 + dx ) ^ { \frac{ x }{ dx } } \\ \end{array} \right . \] たとえば、 \[ e = ( 1 + C_1 \ dx ) ^ { \frac{ 1 }{ C_2 \ dx } } \] という変形の等号を成立させるためには、\(C_1 = C_2\ \)、つまり、\(C_1 \ dx \ \)と\( \ C_2 \ dx \ \)が、同じスケールの微小量である必要があります。
        ここでは、\( \frac{ dx }{ x } \to 0 \ \) という収束と、\( \frac{ x }{ dx } \to \infty \ \)という収束が、同じ速度スケールである必要があります。

    • \(f( x ) = \sin ( x ) \ \)の微分

        \[ \begin{alignat}{2} df( x ) & = f( x + dx ) - f( x ) \\ & = \sin ( x + dx ) - \sin ( x ) \\ & = 2 \ \cos \left ( \frac{ ( x + dx ) + x }{ 2 } \right ) \ \sin \left ( \frac{ ( x + dx ) - x }{ 2 } \right ) \\ & = 2 \ \cos \left ( x + \frac{ dx }{ 2 } \right ) \ \sin \left ( \frac{ dx }{ 2 } \right ) \\ & = \cos \left ( x + \frac{ dx }{ 2 } \right ) \ \frac{ \sin \left ( \frac{ dx }{ 2 } \right ) }{ \frac{ dx }{ 2 } } \ dx \\ & = \cos \left ( x + \frac{ dx }{ 2 } \right ) \ \frac{ \sin \left ( 0 \right ) }{ 0 } \ dx \\ & = \cos \left ( x + \frac{ dx }{ 2 } \right ) \ \cdot 1 \cdot \ dx \\ & = \cos \left ( x + \frac{ dx }{ 2 } \right ) \ dx \\ & = \cos \left ( x + 0 \right ) \ dx \ \ ( \because x >> dx ) \\ & = \cos \left ( x \right ) \ dx \\ & \therefore \frac{ df }{ dx } = \cos ( x ) \end{alignat} \]

    • 積分の導入

        上記の「微分の導入」の積分編です。微分編をいくつか読んでからの方が、スムーズに読めると思います。
        (数学者ではない私の経験的な持論なので、数学的に厳密でないのだろうな、とは思っています笑)

        \(f'( x ) = 2 x \ \)と設定して、\(\ x := x_0 \sim x \ \)の区間で積分すると、 \[ \begin{alignat}{2} \int _ { x _ 0 } ^ { x } f'( x ) \ dx & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } 2 x \ dx \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ 2 x \ dx + 0 \right ] \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ 2 x \ dx + dx ^ 2 \right ] \ \ ( \because dx >> dx ^ 2 ) \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ ( x + dx ) ^ 2 - x ^ 2 \right ] \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ f( x + dx ) - f( x ) \right ] \\ & = \int _ { f( x _ 0 ) } ^ { f( x ) } df \\ & = f( x ) - f( x _ 0 ) \\ & = x ^ 2 - x _ 0 ^ 2 \\ \end{alignat} \] \(f'( x ) = 3 x ^ 2 \ \)と設定して、\(\ x := x_0 \sim x \ \)の区間で積分すると、 \[ \begin{alignat}{2} \int _ { x _ 0 } ^ { x } f'( x ) \ dx & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } 3 x ^ 2 \ dx \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ 3 x ^ 2 \ dx + 0 + 0 \right ] \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ 3 x ^ 2 \ dx + 3 x \ dx ^ 2 + dx ^ 3 \right ] \ \ ( \because dx >> dx ^ 2 , dx ^ 3 ) \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ ( x + dx ) ^ 3 - x ^ 3 \right ] \\ & = \int _ { x _ 0 ^ 3 } ^ { x ^ 3 } d \left [ x ^ 3 \right ] \\ & = x ^ 3 - x _ 0 ^ 3 \\ \end{alignat} \] \(f'( x ) = 2 x \ \)の場合と違う書き方ですが、考え方は一緒です。

        以下、後者の書き方を用います。手順は微分編のほぼ逆向きです。

    • \(f'( x ) = a \ (a:\)実数\()\)の積分

        \[ \begin{alignat}{2} \int _ { x _ 0 } ^ { x } f'( x ) \ dx & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } a \ dx \\ & = a \ \int _ { x _ 0 } ^ { x } dx \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ 3 x ^ 2 \ dx + 3 x \ dx ^ 2 + dx ^ 3 \right ] \ \ ( \because dx >> dx ^ 2 , dx ^ 3 ) \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ ( x + dx ) ^ 3 - x ^ 3 \right ] \\ & = \int _ { x _ 0 ^ 3 } ^ { x ^ 3 } d \left [ x ^ 3 \right ] \\ & = x ^ 3 - x _ 0 ^ 3 \\ \end{alignat} \]

    • \(f'( x ) = n \ x ^ { n - 1 } \ (n:\)整数\()\)の積分

        \[ \begin{alignat}{2} \int _ { x _ 0 } ^ { x } f'( x ) \ dx & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } n \ x ^ { n - 1 } \ dx \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ n \ x ^ { n - 1 } \ dx + 0 + \cdots \ + 0 \right ] \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ \begin{array}{c} { } _ n C _ { n - 1 } \ x ^ { n - 1 } \ dx + { } _ n C _ { n - 2 } \ x ^ { n - 2 } \ dx ^ 2 \\ + { } _ n C _ { n - 3 } \ x ^ { n - 3 } \ dx ^ 3 + { } _ n C _ { n - 4 } \ x ^ { n - 4 } \ dx ^ 4 \\ + \cdots \\ + { } _ n C _ { 3 } \ x ^ { 3 } \ dx ^ { n - 3 } + { } _ n C _ { 2 } \ x ^ { 2 } \ dx ^ { n - 2 } \\ + { } _ n C _ { 1 } \ x ^ { 1 } \ dx ^ { n - 1 } + { } _ n C _ { 0 } \ x ^ { 0 } \ dx ^ { n - 0 } \\ \end{array} \right ] \\ & \ \ \ \ \ ( \because dx >> dx ^ 2 , dx ^ 3 , \cdots , dx ^ { n - 1 } , dx ^ n ) \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ ( x + dx ) ^ n - x ^ n \right ] \\ & = \int _ { x _ 0 ^ n } ^ { x ^ n } d \left [ x ^ n \right ] \\ & = x ^ n - x _ 0 ^ n \end{alignat} \]

    • \(f'( x ) = e ^ x \ (e:\)自然対数の底\()\)の積分

        \[ \begin{alignat}{2} \int _ { x _ 0 } ^ { x } f'( x ) \ dx & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } e ^ x \ dx \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ e ^ x \left ( e ^ { dx } - 1 \right ) \right ] \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ e ^ { x + dx } - e ^ x \right ] \\ & = \int _ { e ^ { x _ 0 } } ^ { e ^ x } d \left [ e ^ x \right ] \\ & = e ^ x - e ^ { x _ 0 } \end{alignat} \]

    • \(f'( x ) = a ^ x \ln ( a ) \ (a:\)実数\()\)の積分

        \[ \begin{alignat}{2} \int _ { x _ 0 } ^ { x } f'( x ) \ dx & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } a ^ x \ln ( a ) \ dx \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } e ^ { x \ln ( a ) } \ln ( a ) \ dx \\ & = \frac{ 1 }{ \ln ( a ) } \int _ { x _ 0 \ln ( a ) } ^ { x \ln ( a ) } e ^ { x \ln ( a ) } \ d \left [ x \ln ( a ) \right ] \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ e ^ { x \ln ( a ) } \left ( e ^ { dx \ln ( a ) } - 1 \right ) \right ] \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ e ^ { ( x + dx ) \ln ( a ) } - e ^ { x \ln ( a ) } \right ] \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ a ^ { ( x + dx ) } - a ^ { x } \right ] \\ & = \int _ { a ^ { x _ 0 } } ^ { a ^ x } d \left [ a ^ { x } \right ] \\ & = a ^ x - a ^ { x _ 0 } \end{alignat} \]

    • \(f'( x ) = \frac{ 1 }{ x } \ \)の積分

        \[ \begin{alignat}{2} \int _ { x _ 0 } ^ { x } f'( x ) \ dx & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \frac{ 1 }{ x } \ dx \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \frac{ dx }{ x } \cdot 1 \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \frac{ dx }{ x } \ \ln ( e ) \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \frac{ dx }{ x } \ln \left ( 1 + 0 \right ) ^ \infty \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \frac{ dx }{ x } \ln \left ( 1 + \frac{ dx }{ x } \right ) ^ \frac{ x }{ dx } \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \ln \left ( 1 + \frac{ dx }{ x } \right ) \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \ln \left ( \frac{ x + dx }{ x } \right ) \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ \ln ( x + dx ) - \ln ( x ) \right ] \\ & = \int _ { \ln ( x _ 0 ) } ^ { \ln ( x ) } d \left [ \ln ( x ) \right ] \\ & = \ln ( x ) - \ln ( x _ 0 ) \\ \end{alignat} \]

    • \(f'( x ) = \cos ( x ) \ \)の積分

        \[ \begin{alignat}{2} \int _ { x _ 0 } ^ { x } f'( x ) \ dx & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \cos \left ( x \right ) \ dx \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \cos \left ( x + 0 \right ) \cdot 1 \ dx \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \cos \left ( x + \frac{ dx }{ 2 } \right ) \ \frac{ \sin \left ( \frac{ dx }{ 2 } \right ) }{ \frac{ dx }{ 2 } } \ dx \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } 2 \ \cos \left ( x + \frac{ dx }{ 2 } \right ) \ \sin \left ( \frac{ dx }{ 2 } \right ) \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } 2 \ \cos \left ( \frac{ ( x + dx ) + x }{ 2 } \right ) \ \sin \left ( \frac{ ( x + dx ) - x }{ 2 } \right ) \\ & = \int _ { x _ 0 } ^ { x } \left [ \sin \left ( x + dx \right ) - \sin \left ( x \right ) \right ] \\ & = \int _ { \sin ( x _ 0 ) } ^ { \sin ( x ) } d \left [ \sin ( x ) \right ] \\ & = \sin ( x ) - \sin ( x _ 0 ) \\ \end{alignat} \]

  • 常微分方程式関連
    • \(\frac{ d }{ dt } x( t ) = - \ k \ x ( t ) \ \)の解き方(1)
        \[ \frac{ dx }{ dt } = - \ k \ x \\ \frac{ dx }{ dt } + k \ x = 0 \\ \frac{ dx }{ dt } \cdot e ^ { + \ k \ t } + x \cdot k \ e ^ { + \ k \ t } = 0 \\ \frac{ dx }{ dt } \cdot e ^ { + \ k \ t } + x \cdot \frac{ d }{ dt } \left [ e ^ { + \ k \ t } \right ] = 0 \\ \frac{ d }{ dt } \left [ x \cdot e ^ { + \ k \ t } \right ] = 0 \\ \therefore \int _ { t _ 0 } ^ { t } \frac{ d }{ dt } \left [ x( t ) \cdot e ^ { + \ k \ t } \right ] \ dt = 0 \\ \int _ { x ( t _ 0 ) \cdot e ^ { + \ k \ t _ 0 } } ^ { x ( t ) \cdot e ^ { + \ k \ t } } d \left [ x ( t ) \cdot e ^ { + \ k \ t } \right ] = 0 \\ x ( t ) \cdot e ^ { + \ k \ t } - x ( t _ 0 ) \cdot e ^ { + \ k \ t _ 0 } = 0 \\ \therefore x ( t ) = x _ 0 \cdot e ^ { - \ k \ ( t - t _ 0 ) } \\ \]
    • \(\frac{ d }{ dt } x( t ) = - \ k \ x ( t ) \ \)の解き方(2)
        \[ \frac{ dx }{ dt } = - \ k \ x \\ \frac{ x( t + dt ) - x ( t ) }{ dt } = - \ k \ x( t ) \\ x( t + dt ) = x ( t ) \ ( 1 - k \ dt ) \\ \begin{alignat}{2} \therefore x( t ) & = x( t - dt ) \cdot ( 1 - k \ dt ) ^ 1 \\ & = x( t - 2 \ dt ) \cdot ( 1 - \ k \ dt ) ^ 2 \\ & = x( t - 3 \ dt ) \cdot ( 1 - \ k \ dt ) ^ 3 \\ & = \cdots \cdots \cdots \\ & = x( t - n \ dt ) \cdot ( 1 - \ k \ dt ) ^ n \\ & = \cdots \cdots \cdots \\ & = x( t - \infty \ dt ) \cdot ( 1 - \ k \ dt ) ^ \infty \\ & = x( t _ 0 ) \cdot \left ( 1 - \ k \ dt \right ) ^ \frac{ t - t _ 0 }{ dt } \ \ \ \ \left ( \because t = t _ 0 + \infty \ dt \right ) \\ & = x( t _ 0 ) \cdot \left ( 1 + ( - \ k \ dt ) \right ) ^ { \frac{ 1 }{ - \ k \ dt } \cdot ( - \ k \ ( t - t _ 0 ) ) } \\ & = x( t _ 0 ) \cdot \left ( 1 + 0 \right ) ^ { \infty \cdot ( - \ k \ ( t - t _ 0 ) ) } \\ & = x( t _ 0 ) \cdot \left \{ \left ( 1 + 0 \right ) ^ { \infty } \right \} ^ { - \ k \ ( t - t _ 0 ) } \\ & = x _ 0 \cdot e ^ { - \ k \ ( t - t _ 0 ) } \end{alignat} \]


        「\(\infty\)」をあたかも普通の代数計算と同じように使って計算できることに気付いた時は、ちょっと感動しました。笑

    • \(\frac{ d }{ dt } \boldsymbol{ x }( t ) = \ A \ \boldsymbol{ x } \ \)の解き方(係数行列\(A \ \)を固有値分解できる場合)
        \[ \boldsymbol{ x } := \left ( x_1( t ) , x_2( t ) , \cdots , x_n( t ) \right ) ^ T \\ A := \left [ \begin{array}{cccc} a _ { 11 } & a _ { 12 } & \cdots & a _ { 1n } \\ a _ { 21 } & a _ { 22 } & \cdots & a _ { 2n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a _ { n1 } & a _ { n2 } & \cdots & a _ { nn } \\ \end{array} \right ] \\ Diag \left ( \lambda _ i \right ) := \left [ \begin{array}{cccc} \lambda _ { 1 } & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda _ { 2 } & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda _ { n } \\ \end{array} \right ] \\ --------------------\\ \frac{ d }{ dt } \boldsymbol{ x }( t ) = \ A \ \boldsymbol{ x } = U \ Diag \left ( \lambda _ i \right ) U ^ { - 1 } \ \boldsymbol{ x } \\ U ^ { - 1 } \frac{ d }{ dt } \boldsymbol{ x } = Diag \left ( \lambda _ i \right ) U ^ { - 1 } \ \boldsymbol{ x } \\ \frac{ d }{ dt } \boldsymbol{ y } = Diag \left ( \lambda _ i \right ) \ \boldsymbol{ y } \ \ \left ( \because \boldsymbol{ y } := U ^ { - 1 } \ \boldsymbol{ x } \right ) \\ \frac{ d }{ dt } \boldsymbol{ y } - Diag \left ( \lambda _ i \right ) \ \boldsymbol{ y } = \boldsymbol{ O } \\ Diag \left ( e ^ { - \lambda _ i ( t - t _ 0 ) } \right ) \frac{ d }{ dt } \boldsymbol{ y } - Diag \left ( e ^ { - \lambda _ i \ ( t - t _ 0 ) } \right ) Diag \left ( \lambda _ i \right ) \ \boldsymbol{ y } = \boldsymbol{ O } \\ Diag \left ( e ^ { - \lambda _ i ( t - t _ 0 ) } \right ) \frac{ d }{ dt } \boldsymbol{ y } + Diag \left ( - \lambda _ i \cdot e ^ { - \lambda _ i \ ( t - t _ 0 ) } \right ) \ \boldsymbol{ y } = \boldsymbol{ O } \\ Diag \left ( e ^ { - \lambda _ i ( t - t _ 0 ) } \right ) \frac{ d }{ dt } \boldsymbol{ y } + \frac{ d }{ dt } \left [ Diag \left ( e ^ { - \lambda _ i \ ( t - t _ 0 ) } \right ) \right ] \ \boldsymbol{ y } = \boldsymbol{ O } \\ \frac{ d }{ dt } \left [ Diag \left ( e ^ { - \lambda _ i \ ( t - t _ 0 ) } \right ) \ \boldsymbol{ y } \right ] = \boldsymbol{ O } \\ \therefore \int _ { t _ 0 } ^ { t } \frac{ d }{ dt } \left [ Diag \left ( e ^ { - \lambda _ i \ ( t - t _ 0 ) } \right ) \ \boldsymbol{ y } ( t ) \right ] dt = \boldsymbol{ O } \\ \int _ { Diag \left ( e ^ { - \lambda _ i \ ( t _ 0 - t _ 0 ) } \right ) \ \boldsymbol{ y } ( t _ 0 ) } ^ { Diag \left ( e ^ { - \lambda _ i \ ( t - t _ 0 ) } \right ) \ \boldsymbol{ y } ( t ) } d \left [ Diag \left ( e ^ { - \lambda _ i \ ( t - t _ 0 ) } \right ) \ \boldsymbol{ y } ( t ) \right ] = \boldsymbol{ O } \\ Diag \left ( e ^ { - \lambda _ i \ ( t - t _ 0 ) } \right ) \ \boldsymbol{ y } ( t ) - Diag \left ( e ^ { - \lambda _ i \ ( t _ 0 - t _ 0 ) } \right ) \ \boldsymbol{ y } ( t _ 0 ) = \boldsymbol{ O } \\ Diag \left ( e ^ { - \lambda _ i \ ( t - t _ 0 ) } \right ) \ \boldsymbol{ y } - I \ \boldsymbol{ y _ 0 } = \boldsymbol{ O } \\ \therefore \boldsymbol{ y } = Diag \left ( e ^ { + \lambda _ i \ ( t - t _ 0 ) } \right ) \ \boldsymbol{ y _ 0 } \\
        \begin{alignat}{2} \therefore \boldsymbol{ x } & = U \ \boldsymbol{ y } \\ & = U \ Diag \left ( e ^ { + \lambda _ i \ ( t - t _ 0 ) } \right ) \ U ^ { - 1 } \ \boldsymbol{ x _ 0 } \\ & = U \ Diag \left ( \sum \limits _ { k = 0 } ^ \infty \frac{ 1 }{ k ! } \ \left( + \lambda _ i \ ( t - t _ 0 ) \right ) ^ k \right ) \ U ^ { - 1 } \ \boldsymbol{ x _ 0 } \\ & = U \ \sum \limits _ { k = 0 } ^ \infty \left ( Diag \left ( \frac{ 1 }{ k ! } \ \left( + \lambda _ i \ ( t - t _ 0 ) \right ) ^ k \right ) \right ) \ U ^ { - 1 } \ \boldsymbol{ x _ 0 } \\ & = \sum \limits _ { k = 0 } ^ \infty \left ( U \ Diag \left ( \frac{ 1 }{ k ! } \ \left( + \lambda _ i \ ( t - t _ 0 ) \right ) ^ k \right ) \ U ^ { - 1 } \right ) \ \boldsymbol{ x _ 0 } \\ & = \sum \limits _ { k = 0 } ^ \infty \left ( \frac{ 1 }{ k ! } \ U \ Diag \left ( + \lambda _ i ^ k \right ) \ U ^ { - 1 } \ ( t - t _ 0 ) ^ k \right ) \ \boldsymbol{ x _ 0 } \\ & = \sum \limits _ { k = 0 } ^ \infty \left ( \frac{ 1 }{ k ! } \ \left ( U \ Diag \left ( + \lambda _ i \right ) \ U ^ { - 1 } \right ) ^ k \ ( t - t _ 0 ) ^ k \right ) \ \boldsymbol{ x _ 0 } \\ & = \sum \limits _ { k = 0 } ^ \infty \left ( \frac{ 1 }{ k ! } \ A ^ k \ ( t - t _ 0 ) ^ k \right ) \ \boldsymbol{ x _ 0 } \\ & = \left ( I + \frac{ 1 }{ 1 ! } A \ t + \frac{ 1 }{ 2 ! } \left ( A \ t \right ) ^ 2 + \frac{ 1 }{ 3 ! } \left ( A \ t \right ) ^ 3 + \cdots \right ) \ \boldsymbol{ x _ 0 } \\ & = e ^ { A \ ( t - t _ 0 ) } \ \boldsymbol{ x _ 0 } \end{alignat} \]
    • \(\frac{ d }{ dt } \boldsymbol{ x }( t ) = \ A \ \boldsymbol{ x } \ \)の解き方(係数行列\(A \ \)をジョルダン分解できる場合)

        工事中。。。

  • 偏微分方程式関連
    • 弱形式の導出
      • 1次元ラプラス方程式

          1次元の関数\( \ u( x ) \ \)についてのラプラス方程式は、 \[ \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial x ^ 2 } = 0 \] なので、重み関数\( \ u ^ * ( x ) \ \)を乗じて区間\( \ \Omega \ \)で積分すると、 \[ \int _ \Omega \left [ \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial x ^ 2 } \ u ^ * \right ] \ dx = 0 \\ \int _ \Omega \left [ \frac{ \partial }{ \partial x } \left ( \frac{ \partial u }{ \partial x } \ u ^ * \right ) \right ] \ dx - \int _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } \right ] \ dx = 0 \\ \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ u ^ * \right ] _ \Omega - \int _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } \right ] \ dx = 0 \\ \]

      • 2次元ラプラス方程式

          2次元の関数\( \ u( x , y ) \ \)についてのラプラス方程式は、 \[ \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial x ^ 2 } + \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial y ^ 2 } = 0 \] なので、重み関数\( \ u ^ * ( x , y ) \ \)を乗じて区間\( \ \Omega \ \)で積分すると、 \[ \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial x ^ 2 } + \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial y ^ 2 } \right ] \ u ^ * \ dx \ dy = 0 \\ \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial x ^ 2 } \ u ^ * + \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial y ^ 2 } \ u ^ * \right ] \ dx \ dy = 0 \\ \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial }{ \partial x } \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \right ] \ u ^ * + \frac{ \partial }{ \partial y } \left [ \frac{ \partial u }{ \partial y } \right ] \ u ^ * \right ] \ dx \ dy = 0 \\ \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial }{ \partial x } \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ u ^ * \right ] + \frac{ \partial }{ \partial y } \left [ \frac{ \partial u }{ \partial y } \ u ^ * \right ] \right ] \ dx \ dy - \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } + \frac{ \partial u }{ \partial y } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial y } \right ] \ dx \ dy = 0 \\ \iint _ \Omega \nabla \cdot \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ u ^ * + \frac{ \partial u }{ \partial y } \ u ^ * \right ] \ dx \ dy - \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } + \frac{ \partial u }{ \partial y } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial y } \right ] \ dx \ dy = 0 \\ \int _ \Gamma \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ u ^ * + \frac{ \partial u }{ \partial y } \ u ^ * \right ] \cdot \boldsymbol{ n } \ d \Gamma - \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } + \frac{ \partial u }{ \partial y } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial y } \right ] \ dx \ dy = 0 \\ \int _ \Gamma \ \frac{ \partial u }{ \partial n } \ u ^ * \ d \Gamma - \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } + \frac{ \partial u }{ \partial y } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial y } \right ] \ dx \ dy = 0 \\ \]

      • 1次元拡散方程式

          1次元空間上の関数\( \ u( x , t ) \ \)についての拡散方程式は、 \[ \frac{ \partial u }{ \partial t } = D _ u \ \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial x ^ 2 } \] なので、重み関数\( \ u ^ * ( x ) \ \)を乗じて区間\( \ \Omega \ \)で積分すると、 \[ \int _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial t } - D _ u \ \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial x ^ 2 } \right ] \ u ^ * \ dx = 0 \\ \int _ \Omega \left [ \frac{ u( t + \Delta t ) - u( t ) }{ \Delta t } - D _ u \ \frac{ \partial }{ \partial x } \left ( \frac{ \partial u }{ \partial x } \right ) \right ] \ u ^ * \ dx + \int _ \Omega \left [ D _ u \ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } \right ] \ dx = 0 \\ \frac{ 1 }{ \Delta t } \ \int _ \Omega \left [ u( t + \Delta t ) \ u ^ * - u( t ) \ u ^ * \right ] \ dx - D _ u \ \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ u ^ * \right ] _ \Omega + D _ u \ \int _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } \right ] \ dx = 0 \\ \int _ \Omega \left [ u( t + \Delta t ) \ u ^ * - u( t ) \ u ^ * \right ] \ dx - D _ u \ \Delta t \ \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ u ^ * \right ] _ \Omega + D _ u \ \Delta t \ \int _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } \right ] \ dx = 0 \\ \]

      • 2次元拡散方程式

          2次元空間上の関数\( \ u( x , y , t ) \ \)についての拡散方程式は、 \[ \frac{ \partial u }{ \partial t } = D _ u \ \left ( \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial x ^ 2 } + \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial y ^ 2 } \right ) \] なので、重み関数\( \ u ^ * ( x , y ) \ \)を乗じて区間\( \ \Omega \ \)で積分すると、 \[ \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial t } \ u ^ * - D _ u \ \left ( \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial x ^ 2 } + \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial y ^ 2 } \right ) \right ] \ u ^ * \ dx \ dy = 0 \\ \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial t } \ u ^ * - D _ u \ \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial x ^ 2 } \ u ^ * - D _ u \ \frac{ \partial ^ 2 u }{ \partial y ^ 2 } \ u ^ * \right ] \ dx \ dy = 0 \\ \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial t } \ u ^ * - D _ u \ \frac{ \partial }{ \partial x } \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \right ] \ u ^ * - D _ u \ \frac{ \partial }{ \partial y } \left [ \frac{ \partial u }{ \partial y } \right ] \ u ^ * \right ] \ dx \ dy = 0 \\ \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial t } \ u ^ * - D _ u \ \frac{ \partial }{ \partial x } \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ u ^ * \right ] - D _ u \ \frac{ \partial }{ \partial y } \left [ \frac{ \partial u }{ \partial y } \ u ^ * \right ] \right ] \ dx \ dy + D _ u \ \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } + \frac{ \partial u }{ \partial y } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial y } \right ] \ dx \ dy = 0 \\ \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial t } \ u ^ * \right ] \ dx \ dy - D _ u \ \iint _ \Omega \nabla \cdot \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ u ^ * + \frac{ \partial u }{ \partial y } \ u ^ * \right ] \ dx \ dy + D _ u \ \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } + \frac{ \partial u }{ \partial y } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial y } \right ] \ dx \ dy = 0 \\ \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial t } \ u ^ * \right ] \ dx \ dy - D _ u \ \int _ \Gamma \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \ u ^ * + \frac{ \partial u }{ \partial y } \ u ^ * \right ] \cdot \boldsymbol{ n } \ d \Gamma + D _ u \ \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } + \frac{ \partial u }{ \partial y } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial y } \right ] \ dx \ dy = 0 \\ \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial t } \ u ^ * \right ] \ dx \ dy - D _ u \ \int _ \Gamma \ \frac{ \partial u }{ \partial n } \ u ^ * \ d \Gamma + D _ u \ \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } + \frac{ \partial u }{ \partial y } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial y } \right ] \ dx \ dy = 0 \\ \] 時間方向に離散化すると、 \[ \iint _ \Omega \left [ \frac{ u( x , y , t + \Delta t ) - u( x , y , t ) }{ \Delta t } \ u ^ * \right ] \ dx \ dy - D _ u \ \int _ \Gamma \ \frac{ \partial u ( x , y , t ) }{ \partial n } \ u ^ * \ d \Gamma \\ + D _ u \ \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial u }{ \partial x } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } + \frac{ \partial u }{ \partial y } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial y } \right ] \ dx \ dy = 0 \\ \] \[ \iint _ \Omega \left [ ( u( x , y , t + \Delta t ) - u( x , y , t ) ) \ u ^ * \right ] \ dx \ dy - D _ u \ \Delta t \ \int _ \Gamma \frac{ \partial u ( x , y , t ) }{ \partial n } \ u ^ * \ d \Gamma \\ + D _ u \ \Delta t \ \iint _ \Omega \left [ \frac{ \partial u ( x , y , t + \Delta t ) }{ \partial x } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial x } + \frac{ \partial u ( x , y , t + \Delta t ) }{ \partial y } \frac{ \partial u ^ * }{ \partial y } \right ] \ dx \ dy = 0 \\ \] 長かったぁ・・・笑



memo

今のところ、自分が分かればいい書き方でまとめているので、
そのうち読み物形式にできたらなぁ、と思っています。笑

管理人の不勉強で正確性に欠ける内容を
含むかも知れませんので、ご注意ください。。。

計算ミスがあったらごめんなさい。。。

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